حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس ریاضیات گسسته دوازدهم خرداد 1403 (ریاضی) - امتحان نهایی خرداد 1403

درستی یا نادرستی عبارات زیر را مشخص کنید. (1)

الف) میانگین پنج عدد طبیعی همان عدد وسطی است.

ب) اگر $m\in \mathbb{Z}-\{0\}$ آنگاه: $\left[m^5,(m^3,m^2)\right]=m^5$

ج) تفاضل هر دو عدد دلخواه از مجموعه $A=\{x\in \mathbb{Z}|x=4k+3\}$، مضرب 4 است.

د) هر مجموعه احاطه‌گر مینیمال، یک مجموعه احاطه‌گر مینیمم است.

جاهای خالی را با اعداد مناسب تکمیل کنید. (0/5)

الف) عدد احاطه‌گری گراف $C_7$ برابر است با ............ .

ب) تعداد راه‌های توزیع 3 خودکار متفاوت بین 5 نفر به‌طوری که به هر نفر حداکثر یک خودکار برسد، برابر ............ است.

با استفاده از اثبات بازگشتی نشان دهید برای هر دو عدد حقیقی $a$ و $b$ داریم: (1/5)

$a^2+b^2\ge (a-1)(b+1)$

اگر a عددی طبیعی و داشته باشیم $a|7k+1$ و $a|4k+3$ ثابت کنید $a=1$ یا $a=17$. (1)

اگر باقیمانده تقسیم عدد $a$ بر دو عدد 4 و 5 به ترتیب 2 و 3 باشد، باقیمانده تقسیم عدد $a$ را بر 20 بیابید. (1/25)

جواب‌های عمومی معادله سیاله $5x+9y=22$ را به‌دست آورید. (1/5)

با توجه به گراف $G$ زیر به سؤالات پاسخ دهید. (2)

الف) مرتبه و اندازه گراف را بنویسید.

ب) مسیری به طول 5 از رأس $c$ به رأس $f$ بنویسید.

ج) دوری به طول 4 بنویسید.

د) آیا گراف $\overline{G}$ همبند است؟ چرا؟

با توجه به گراف $G$، به سؤالات زیر پاسخ دهید. (2)

الف) آیا مجموعه $D=\left\{a,b,m\right\}$ یک مجموعه احاطه‌گر است؟ چرا؟

ب) عدد احاطه‌گری گراف $G$ را به‌دست آورید. (با ذکر دلیل)

ج) یک مجموعه احاطه‌گر مینیمال 5 عضوی از آن بنویسید.

در گراف زیر: (1/5)

الف) مجموعه احاطه‌گر غیرمینیمال $A=\left\{b,e,g,a,f\right\}$ را به یک مجموعه احاطه‌گر مینیمال تبدیل کنید.

ب) یک مجموعه احاطه‌گر مینیمم که شامل رأس $e$ باشد را بنویسید.

ج) با اضافه نمودن چه یالی عدد احاطه‌گری گراف 2 می‌شود؟

الف) گراف $P_{12}$  را رسم کنید. (0/5)

ب) یک $\gamma$- مجموعه از آن را مشخص کنید. (0/5)

می‌خواهیم 10 نفر را که دو به دو برادر یکدیگرند در دو طرف طول یک میز مستطیل شکل بنشانیم. اگر بخواهیم هر نفر روبه‌روی برادرش بنشیند، به چند طریق می‌توان این کار را انجام داد؟ (1)

تعداد جواب‌های صحیح و نامنفی معادله $x_1+2x_2+x_3+x_4=20$ را با شرط‌های $x_1>2,x_2=3,x_3\ge 4$ به‌دست آورید. (1/5)

با ارقام 3، 1، 2، 3، 1، 2، 4، 3، 2، 2 چند عدد 10 رقمی می‌توان نوشت؟ (محاسبه جواب آخر الزامی نیست.) (1)

قرار است سه کارگر با سه نوع ماشین نخ‌ریسی و سه نوع الیاف در سه روز اول هفته کار کنند. به‌گونه‌ای که هر کارگر با هر نوع ماشین و هر نوع الیاف دقیقاً یک بار کار کرده باشد و نیز هر الیاف در هر ماشین دقیقاً یک‌بار به کار گرفته شود. برای این مسئله برنامه‌ریزی کنید. (1/25)

تعداد توابع پوشا از مجموعه 5 عضوی $A$ به مجموعه 3 عضوی $B$ را به‌دست آورید. (1)

حداقل چند دانش‌آموز در حیاط یک دبیرستان حضور داشته باشند تا مطمئن باشیم لااقل 21 نفر از آن‌ها متعلق به یک پایه تحصیلی (دهم، یازدهم، دوازدهم) و یک رشته تحصیلی (ریاضی، تجربی، انسانی) هستند؟ (1)