حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس ریاضی و آمار (3) دوازدهم شهریور 1402 - امتحان نهایی دوازدهم شهریور 1402 (انسانی)

درستی یا نادرستی عبارات زیر را مشخص کنید. (0/75)

الف) طرح یک پرسش دقیق و شفاف مهم‌ترین گام رسیدن به پاسخ است.

ب) اگر در یک دنبالۀ حسابی اختلاف مشترک $(d)$ عددی مثبت باشد، جملات دنباله کاهشی می‌شود.

ج) ریشۀ پنجم عدد $-32$ برابر 2 است.

جاهای خالی را با عبارات مناسب پر کنید. (1/25)

الف) حاصل $3!+2!$ برابر است با ............ .

ب) مطمعئن‌ترین نمودار برای متغیّر کمّی، ............ است.

ج) رابطه‌ای را که بیانگر ارتباط جملات دنباله، با یکدیگر است، ............ می‌نامیم.

د) عبارت $\sqrt{7/1}$ به‌صورت توان‌دار ............ و عبارت ${(41)}^{\frac{2}{3}}$ به‌صورت رادیکالی ............ نوشته می‌شود.

گزینه صحیح را انتخاب کنید. (0/5)

الف) کدام گزینه جزء گام بحث و نتیجه‌گیری از چرخه حل مسائل آماری محسوب می‌شود؟

1) نقد و بررسی

2) سازماندهی

3) شیوه اندازه‌گیری

4) نمودارها و جدول‌ها

ب) با مصرف یک قرص آسپرین، 250 میلی‌گرم دارو به بدن شخصی وارد می‌شود و پس از پایان هر یک ساعت، 15 میلی‌گرم دارو در سطح خونش کاهش می‌یابد. چند ساعت پس از مصرف دارو، سطح آن در بدنش 130 میلی‌گرم می‌شود؟

1) 7

2) 8

3) 9

4) 10

میان چهار شهر $A$، $B$، $C$ و $D$، راه‌هایی وجود دارد. به چند طریق می‌توان از شهر $A$ به شهر $C$ سفر کرد؟ (1)

با حروف کلمه «کوهستان» و بدون تکرار حروف: (با معنی و بی‌معنی)

الف) چند کلمه 7 رقمی می‌توان نوشت؟ (0/5)

ب) چند کلمه 6 حرفی می‌توان نوشت که با «ک» شروع و به «س» ختم شوند؟ (1)

خانواده‌ای دارای 2 فرزند است.

الف) فضای نمونه‌ای مناسب برای ترکیب جنسیتی فرزندان این خانواده را بنویسید. (1)

ب) پیشامد $A$ که در آن هر 2 فرزند خانواده از یک جنس باشند را بنویسید. (0/5)

از جعبه‌ای که شامل 3 مداد و 5 خودکار است، به‌طور تصادفی 4 شیء خارج می‌کنیم. مطلوب است احتمال اینکه حداقل 3 شیء انتخابی خودکار باشد؟ (1/5)

داده‌های 5، 28، 5، 7، 8، 6، 8، 9، 7، 30، 5 و 6 متوسط ساعت‌های تماشای تلویزیون تعدادی از دانش‌آموزان یک کلاس در هفته را نشان می‌دهد. کدام معیار گرایش به مرکز و کدام معیار پراکندگی، برای توصیف داده‌های «ساعت‌های تماشای تلویزیون» مناسب‌تر است؟ چرا؟ (1)

احتمال اینکه دانش‌آموزی فردا به کتابخانۀ مدرسه نرود برابر با $\frac{7}{25}$ است. چقدر احتمال دارد او فردا به کتابخانه مدرسه برود؟ (0/5)

با توجه به دنباله‌های $a_n={\left(\frac{1}{5}\right)}^{n-3}$ و $b_n=3n-2$ حاصل عبارت $a_3-b_2$ را بیابید. (0/75)

جمله‌های دوم تا پنجم دنباله بازگشتی $\{\begin{array}{c}{a}_1=2\\ a_{n+1}=a_n+n\end{array}$ را مشخص کنید. (1)

در دنباله حسابی $1,5,9,\cdots ,401$

الف) جمله عمومی دنباله را بنویسید. (0/5)

ب) مجموع جملات دنباله را به‌دست آورید. (1/25)

میان دو عدد 12 و 52 چهار عدد را به‌گونه‌ای قرار دهید که شش جملۀ حاصل یک دنباله حسابی افزایشی تشکیل دهند. (1/25)

در یک دنباله هندسی، جمله دوم 32 و جمله پنجم این دنباله 256 است. جمله هفتم این دنباله را به‌دست آورید. (1/25)

در دنباله هندسی $\frac{2}{3},2,6,\dots$

الف) ضابطه بازگشتی این دنباله را بنویسید. (0/5)

ب) مجموع 6 جمله اول دنباله داده شده را به‌دست آورید. (1)

حاصل هر عبارت را به ساده‌ترین صورت ممکن بنویسید. (1/25)

الف) $5^{0/12}\times 5^{0/88}$

ب) ${\left(\frac{7^{\frac{-1}{3}}}{7^{\frac{-1}{6}}}\right)}^{-12}$

نمودار مختصاتی تابع نمایی $y=3^x$ را رسم کنید. (0/75)

فردی ده میلیون تومان پول خود را در یک شرکت تولید کالای ایرانی سرمایه‌گذاری می‌کند. اگر در پایان هر سال به پاس اعتمادش 20 درصد سود علی‌الحساب از طرف شرکت به او پرداخت شود، آن‌گاه پس از دو سال مبلغ سرمایه‌گذاری او چه مقدار خواهد شد؟ (1)