حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس ریاضی و آمار (3) دوازدهم خرداد 1402 - امتحان نهایی دوازدهم خرداد 1402 (انسانی)

درستی یا نادرستی جمله‌های زیر را مشخص کنید. (1)

الف) تعداد زیرمجموعه‌های 3 عضوی از یک مجموعه 5 عضوی برابر 15 است.

ب) پیشامد $B-A$ وقتی رخ می‌دهد که پیشامد $B$ رخ دهد و پیشامد $A$ رخ ندهد.

ج) هر دنباله حسابی یک تابع خطی است که شیب خط آن، همان اختلاف مشترک جملات دنباله، یعنی $d$ است.

د) اگر فرض کنیم جرم باکتری‌ها در هر نیم ساعت $a$ برابر شود، بعد از یک ساعت جرم آن $\sqrt{a}$ برابر می‌شود.‌‌

جاهای خالی را با عبارات مناسب پر کنید. (1)

الف) اگر پیشامد $A$ با فضای نمونه‌ای $S$ برابر باشد، $A$ را یک پیشامد ............ می‌گویند.

ب) در یک دنباله هندسی با نسبت مشترک $r$، اگر $r=1$ باشد، آن‌گاه دنباله ............ است.

ج) ریشه‌های چهارم عدد 10 برابر است با ............ و ............ .

گزینه صحیح را انتخاب کنید. (1)

الف) کدام گزینه جزء گام تحلیل داده‌ها در چرخه حل مسائل آماری محسوب نمی‌شود؟

1) استفاده از نمودارها

2) مرتب کردن داده‌ها

3) گزارش معیارها

4) تفسیر داده‌ها

ب) در یک نمودار جعبه‌ای اگر چارک اول برابر 3 و دامنه میان چارکی آن $(IQR)$ برابر 11 باشد، چارک سوم آن کدام است؟

1) 14

2) 7

3) 8

4) 15

ج) چه تعداد از دنباله‌های زیر، هندسی نیست.

$\begin{array}{ccccccc}3,6,12,\dots & & 8,4,2,\dots & & 4,8,12,\dots & & 2,2\sqrt{2},4,\dots \end{array}$

1) یک

2) دو

3) سه

4) چهار

د) در تساوی ${(0/27)}^2\times {(0/27)}^5\times {(0/27)}^{x+1}={(0/27)}^{15}$ مقدار $x$ کدام است؟

1) 6

2) 7

3) 8

4) 9

با ارقام $8,4,9,7,2,3$ چند عدد سه رقمی زوج، بدون تکرار ارقام می‌توان نوشت؟ (0/75)

دو تاس را همزمان پرتاب می‌کنیم؛ هر یک از پیشامدهای زیر را مشخص کنید.

الف) حاصل‌ضرب اعداد رو شده از دو تاس بزرگ‌تر یا مساوی 30 باشد. (0/75)

ب) مجموع اعداد رو شده از دو تاس برابر 13 باشد. (0/25)

می‌خواهیم از بین 5 فوتبالیست و 4 والیبالیست یک گروه 6 نفره به‌طور تصادفی تشکیل دهیم مطلوبست احتمال اینکه:

الف) حداقل 4 نفر فوتبالیست باشند. (1/25)

ب) به تعداد مساوی از هر دو رشته ورزشی انتخاب شوند. (0/75)

با توجه به دنباله‌های $a_n=\frac{{(-1)}^{n+1}}{2}$, $b_n=n^2+1$ حاصل عبارت $2a_1+b_3$ را بنویسید. (1)

جمله پنجم دنباله بازگشتی زیر را مشخص کنید. (1)

$a_{n+3}=a_n+a_{n+1}+a_{n+2}$

$a_1=a_2=a_3=1$

با توجه به نمودار دنباله داده شده، با نوشتن اعضای دنباله، جمله عمومی آن را بنویسید. (0/5)

یازدهمین جمله یک دنباله حسابی 47 و جمله هفدهم آن 77 است. جمله اول این دنباله را به‌دست آورید. (1)

در دنبالۀ حسابی مقابل: $2,5,8,11,\dots$

الف) جمله چندم آن 95 است؟ (0/75)

ب) مجموع چهل جملۀ اول این دنبال را به‌دست آورید. (1)

در دنبالۀ هندسی مقابل: $1,\frac{1}{5},\frac{1}{25},\dots$

الف) جمله عمومی دنباله را بنویسید. (0/5)

ب) رابطه بازگشتی آن را مشخص کنید. (0/5)

اگر $x-3,3,x+5$ سه جمله متوالی یک دنباله هندسی افزایشی باشند، مقدار $x$ را به‌دست آورید. (1/25)

جملۀ اول یک دنبالۀ هندسی 6 و نسبت مشترک این دنباله 2 است.

الف) جملۀ نهم این دنباله را بنویسید. (0/75)

ب) مجموع ده جمله اول این دنباله را بیابید. (1)

عبارت توان‌دار را به‌صورت رادیکالی و عبارت رادیکالی را به‌صورت توان‌دار بنویسید. (1)

الف) $\sqrt[7]{{(3/5)}^4}$

ب) $2^{\frac{5}{6}}$

حاصل عبارت زیر را به ساده‌ترین صورت ممکن بنویسید. (1/25)

${(a^{\frac{2}{3}}\cdot b^{\frac{4}{3}})}^3\times {(a^8)}^{\frac{1}{4}}=$

نمودار مختصاتی تابع نمایی $y=(\frac{3}{2}){}^x$ را رسم کنید. (0/75)

جمعیت کشوری در سال 2023 میلادی، حدود بیست میلیون نفر برآورد شده است. اگر رشد جمعیت این کشور به‌صورت نمایی و با نرخ دو درصد در حال کاهش باشد، جمعیت این کشور در سال 2024 میلادی چند نفر خواهد بود؟ (1)