حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس ریاضی و آمار (3) دوازدهم دی 1401 - امتحان نهایی دوازدهم دی 1401 (انسانی)

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را مشخص کنید. (1)

الف) در گام پنجم چرخه آمار، نتایج به‌دست آمده را تفسیر می‌کنیم و پاسخی برای پرسش اصلی پیدا می‌کنیم.

ب) اختلاف مشترک در دنبال اعداد ... و 12 و 8 و 5 و 2 برابر 3 است.

پ) نمودار تابع نمایی $y=3^{-x}$، نموداری کاهشی است.

ت) در شکل مقابل انحراف معیار و میانگین به‌ترتیب 6 و 8 است.

جای خالی را با عبارت مناسب تکمیل کنید. (1)

الف) اگر داده‌ها برابر باشند دامنه تغییرات آن‌ها ............ می‌شود.

ب) تعداد جایگشت‌های مختلف 4 کتاب متمایز ............ می‌باشد.

پ) مجموعه تهی را پیشامد ............ می‌نامند.

ت) ریشه سوم عدد $-1000$ برابر ............ است.

با ارقام 0 و 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 و بدون تکرار ارقام، چند عدد 3 رقمی زوج می‌توان نوشت؟ (1/25)

مجموعه $A=\left\{a,b,c,d,e,f\right\}$ را در نظر بگیرید: (1/25)

الف) $A$ چند زیرمجموعۀ 3 عضوی دارد؟

ب) $A$ چند زیرمجموعۀ 4 عضوی شامل دو عضو $b,c$ می‌باشد.

دو تاس را با هم پرتاب می‌کنیم، $A$ را پیشامد آنکه اعداد آمده از دو تاس یکسان باشند و $B$ را پیشامد آنکه مجموع اعداد آمده از دو تاس مساوی 8 باشند، در نظر می‌گیریم: (1/5)

الف) پیشامدهای $A$ و $B$ را مشخص کنید.

ب) آیا $A$ و $B$ ناسازگارند؟ چرا؟

از جعبه‌ای که شامل 5 مهره آبی و 7 مهره قرمز است، 3 مهره به تصادف انتخاب می‌کنیم. احتمال آن را حساب کنید که حداکثر 2 مهره از مهره‌های انتخاب شده، قرمز باشند. (1/5)

اگر $A,B,C$ سه پیشامد از فضای نمونه‌ای $S$ باشند، پیشامد آنکه "$A$ یا $C$ رخ دهد ولی $B$ رخ ندهد" را در شکل مقابل سایه بزنید. (0/5)

درصد قبولی دانش‌آموزان دو مدرسه $A$ و $B$ در درس ریاضی، به‌ترتیب 65 درصد و 80 درصد بوده است. تعداد قبولی دانش‌آموزان کدام مدرسه بیشتر است؟ چرا؟ (0/75)

اگر ضابطه تابعی (جمله عمومی) دنباله‌ای $a_n=2n-1$ باشد: (2/25)

الف) 3 جمله اول دنبال را بنویسید.

ب) رابطۀ بازگشتی دنباله را مشخص کنید.

ج) نمودار دنباله را برای 3 جمله اول رسم کنید.

جمله اول یک دنبالۀ حسابی 5 و جملۀ دهم آن 32 است: (2)

الف) اختلاف مشترک را بیابید.

ب) مجموع 20 جمله اول آن را به‌دست آورید.

با توجه به دنباله‌های $c_n={(\frac{-1}{2})}^{n-1}$, $b_n=2n^2+1$, $a_n=\frac{2n-1}{n+1}$، حاصل عبارت $b_3-a_2+c_3$ را بیابید. (1)

اگر $x-1,x,x+3$ سه جملۀ متوالی یک دنبالۀ هندسی باشند، مقدار $x$ را به‌دست آورید. (1)

با توجه به دنباله هندسی $\frac{1}{27},\frac{1}{9},\frac{1}{3},...$ حاصل $\frac{a_8}{a_3}$ را به‌دست آورید. (1)

مقدار $x$ را در تساوی زیر به‌دست آورید. (1)

$\frac{x^6\times {14}^2}{2\times 2^4\times 2^3}=7^8$

عدد توان‌دار را به‌صورت رادیکالی و عدد رادیکالی را به‌صورت عدد توان‌دار بنویسید. (1)

الف) ${13^{}}^{\frac{5}{8}}$

ب) $\sqrt[3]{{17}^2}$

الف) به کمک جدول، تابع $y=2^x$ را رسم کنید. (0/75)

ب) مقدار تقریبی $2^{\frac{3}{2}}$ را از روی نمودار الف به‌دست آورید. (0/5)

جمعیت کشوری در پایان سال 2022 میلادی حدود 40 میلیون نفر برآورد شده است. اگر رشد جمعیت این کشور با نرخ یک درصد در حال کاهش باشد، جمعیت آن کشور در پایان سال 2024 چند نفر خواهد بود؟ (0/75)