حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس ریاضی (3) دوازدهم شهریور 1403 - امتحان نهایی شهریور 1403

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را مشخص کنید. (0/75)

الف) تابع $y=f(x)$ با دامنه $\mathbb{R}$ مفروض است. برد تابع‌های $y=f(3x)$ و $y=f(5x)$ یکسان است.

ب) تابع $y=\tan x$ در بازه $(\pi ,2\pi )$ صعودی است.

پ) تابع $f(x)=\left|x-1\right|$ در تمام نقاط حقیقی پیوسته است پس در $\mathbb{R}$ مشتق‌پذیر است.

هر یک از جمله‌های زیر را با عبارت یا عدد مناسب کامل کنید. (1)

الف) تابع ............ هم صعودی و هم نزولی است.

ب) در تقسیم چندجمله‌ای $f(x)=2x^3+5x^2-3x-10$ بر $x+2$ باقیمانده تقسیم برابر ............ است.

پ) دو پیشامد را ............ گوییم هرگاه وقوع هر یک بر احتمالِ وقوع دیگری تأثیر نداشته باشد.

ت) اگر صفحه‌ای سطح مخروطی را هم در قسمت بالایی و هم در قسمت پایینی قطع کند و از رأس نگذرد شکل حاصل را ............ می‌نامیم.

نمودار تابع $y=-x^3+2$ را رسم کنید و صعودی یا نزولی بودن آن را مشخص کنید. (0/75)

اگر $f(x)=\frac{2}{x-1}$ و $g(x)=\sqrt{x+1}$ باشند آنگاه $D_{fog}$ را با استفاده از تعریف به‌دست آورید. (1)

فرض کنید $f(x)=1+\sqrt{x-2}$ و $g(x)=x^3-1$ باشند. در این صورت ${(gof)}^{-1}(7)$ را بیابید. (0/75)

نمودار تابع $y=a\sin (bx)+c$ به‌صورت زیر است. ضابطۀ آن را مشخص کنید. (1)

الف) با توجه به محورهای کسینوس و تانژانت، اگر $\frac{\pi }{4}<\alpha <\frac{\pi }{2}$ باشد آنگاه مقادیر $\cos \alpha$ و $\tan \alpha$ را با هم مقایسه کنید.

ب) معادلۀ مثلثاتی زیر را حل کنید.

$\cos 2x-13\cos x-6=0$

حدود زیر را محاسبه کنید. (1/75)

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}-1}{2-\frac{3}{x^3}}=$ (الف

 $\underset{x\to {(-\pi )}^{+}}{\lim }\frac{1}{\sin x}=$ (ب

$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2+3x+2}{\sqrt[3]{x}+1}=$ (پ

با توجه به شکل، اگر $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{5f(x)-15}{x-2}=10$ باشد معادلۀ خط $d$ را به‌دست آورید. (1/25)

مشتق تابع داده شده را به‌دست آورید. (ساده کردن مشتق الزامی نیست) (1/25)

$h(x)={\left(\frac{\sqrt{1-3x}}{7+x}\right)}^6$

مشتق‌پذیری تابع $f(x)=\{\begin{array}{ccc}2x^2& & x<2\\ 6x-4& & x=2\\ 2\sqrt{x-1}+6& & x>2\end{array}$ را در نقطۀ $x=2$ بررسی کنید. (1)

گنجایش ظرفی 20 لیتر مایع است. در لحظه $t=0$ سوراخی در ظرف ایجاد می‌شود اگر حجمِ مایعِ باقیمانده در ظرف پس از t ثانیه از رابطه $V=20{(1-\frac{t}{50})}^2$ به‌دست آید در چه زمانی آهنگ تغییر لحظه‌ایِ حجم برابر آهنگ تغییر متوسط آن در بازه $\left[0,50\right]$ می‌شود؟

با رسم جدول تغییرات تابع، طول نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی تابع زیر را در صورت وجود بیابید. (1/5)

$f(x)=\frac{2}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-15x+4$

ورق فلزی مربع شکلی به طول ضلع $30cm$ را در نظر بگیرید. مطابق شکل می‌خواهیم از چهار گوشه آن مربع‌های کوچکی به ضلع $x$ برش بزنیم و آن‌ها را کنار بگذاریم. سپس با تا کردن ورق در امتداد خط‌چین‌های مشخص‌شده در شکل، یک جعبۀ درباز بسازیم. مقدار $x$ چقدر باشد تا حجم قوطی، حداکثر مقدار ممکن گردد؟ (1/5)

اگر خروج از مرکز یک بیضی $\frac{\sqrt{3}}{2}$ و طول قطر کوچک آن 10 باشد آنگاه فاصلۀ کانونی را محاسبه کنید. (1/25)

معادلۀ دایره‌ای را بنویسید که بر خط $3x+4y-1=0$ مماس بوده و مرکز آن $(1,2)$ باشد. (1)

یک سکه را پرتاب می‌کنیم اگر «پشت» بیاید 3 سکه دیگر را با هم پرتاب می‌کنیم و اگر «رو» بیاید 2 سکه دیگر را با هم پرتاب می‌کنیم. در این آزمایش احتمال اینکه دقیقاً دو سکه «رو» ظاهر شود چقدر است؟ (1/25)