حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس ریاضی (3) دوازدهم شهریور 1401 - امتحان نهایی شهریور 1401

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را مشخص کنید. (0/75)

الف) بازه $(2,5)$، یک همسایگی 4 است.

ب) تابع $y=[x]$ در صفر مشتق‌پذیر است.

پ) هر نقطه دلخواه از دامنۀ تابع ثابت، یک نقطۀ بحرانی است.

در جاهای خالی عبارات مناسب قرار دهید. (0/5)

الف) ضابطۀ تابع وارون $y=x^3$، برابر ............ است.

ب) شکلی که از برخورد یک صفحه با یک جسم هندسی حاصل می‌شود، ............ آن نامیده می‌شود.

نمودار تابع $f$ به‌صورت زیر است: (2)

الف) نمودار تابع $g(x)=2f(x-1)$ را رسم کنید.

ب) دامنۀ تابع $g$ را به‌دست آورید.

اگر $f=\{(0,-1),(5,9),(3,7),(-2,4)\}$ و $g=\{(1,2),(3,-1),(9,0),(-1,4),(7,7)\}$، تابع $gof$ را در صورت وجود بنویسید. (0/75)

دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم تابع $y=3\cos (\pi x)+2$ را به‌دست آورید. (1/5)

معادله زیر را حل کنید. (1/5)

$\cos 2x-3\sin x+4=0$

حدود زیر را در صورت وجود محاسبه کنید. (1/75)

$\underset{x\to 9}{\lim }\frac{\sqrt{x}-3}{x-9}$ (الف

$\underset{x\to {(\frac{\pi }{2})}^{+}}{\lim }\frac{1}{\cos x}$ (ب

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2-x}{5x+4}$ (پ

از بین نقاط مشخص شده $A$ و $B$ و $C$ و $D$ و $E$ روی نمودار زیر، در کدام نقطه: (0/5)

الف) مقدار تابع صفر ولی مقدار مشتق آن مثبت است؟

ب) مقدار تابع مثبت ولی مقدار مشتق آن منفی است؟

معادله نیم‌مماس راست تابع $f(x)=|x^2-1|$ را در نقطه‌ای به طول $x=1$ واقع بر منحنی بنویسید. (1/5)

مشتق توابع زیر را به‌دست آورید. (ساده کردن مشتق الزامی نیست.) (1/75)

$f(x)=\frac{-2x+3}{x+4}$ (الف

$g(x)=(\sqrt{3x+1})(x^2+2x)$ (ب

تابع $f(x)=7\sqrt{x}+50$ قد متوسط کودکان را بر حسب سانتی‌متر تا حدود شصت‌ماهگی نشان می‌دهد، که در آن $x$ مدت‌زمان پس از تولد (بر حسب ماه) است. آهنگ متوسط رشد در بازه زمانی $[0,25]$ چقدر است؟ (1)

با تشکیل جدول تغییرات تابع $f(x)=x^3-12x+4$، مشخص کنید تابع در چه بازه‌هایی صعودی اکید است؟ (1/5)

نشان دهید در بین مستطیل‌هایی با محیط 16 سانتی‌متر، مستطیلی بیشترین مساحت را دارد که طول و عرض آن هم‌اندازه باشند. (1/25)

در بیضی زیر فاصله کانونی را محاسبه کنید. ($F$ و $F^{\prime }$ کانون‌های بیضی هستند.) (0/75)

معادله گسترده دایرۀ $C(O,R)$ به شکل $x^2+y^2+2y-4x-4=0$ است. (1/5)

الف) مختصات مرکز و شعاع دایره $C$ را محاسبه کنید.

ب) آیا نقطه $A(0,3)$ روی محیط دایره $C$ قرار دارد؟ چرا؟

چهار ظرف یکسان داریم. در اولین ظرف 10 مهره قرار دارد که 6 تای آن‌ها قرمز است. در ظرف دوم همه مهره‌ها قرمزند. در ظرف سوم 12 مهره قرار دارد که 4 تای آن‌ها قرمز هستند. و در ظرف چهارم هیچ مهره قرمزی وجود ندارد. با چشم بسته یکی از ظرف‌ها را انتخاب کرده و از آن یک مهره بیرون می‌آوریم، احتمال اینکه مهره انتخابی قرمز باشد چقدر است؟ (1/5)