حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس ریاضی (3) دوازدهم خرداد 1403 - امتحان نهایی دوازدهم خرداد 1403 (تجربی)

درستی یا نادرستی عبارات زیر را مشخص کنید. (0/75)

الف) هر نقطه اکسترمم نسبی تابع، یک نقطه بحرانی آن است.

ب) تابع $f(x)=\sqrt[3]{x}$ در $x=0$ مشتق‌پذیر است.

ج) در تابع $f(x)=4+\sqrt{x-1}$ دامنه تابع $y=(f^{-1}of)(x)$ برابر $\left[1,+\infty \right)$ است.

جاهای خالی را با عبارت یا عدد مناسب کامل کنید. (0/75)

الف) تابع $g(x)=x^2-4x+5$ در بازۀ $(-\infty ,a]$ اکیداً نزولی است. حداکثر مقدار $a$ برابر ............ است.

ب) مقدار عددی عبارت $\sin {15}^{\circ }\cos {15}^{\circ }$ برابر ............ است.

ج) اگر صفحه $P$ در یکی از موقعیت‌ها با مولد سطح مخروطی موازی باشد و از رأس آن عبور نکند، شکل حاصل ........... است.

به کمک انتقال نمودار تابع $y=x^3$ نمودار تابع $f(x)={(x-2)}^3+1$ را رسم کنید. (0/5)

در شکل روبه‌رو نمودار تابع $f$ رسم شده است. (0/75)

الف) نمودار تابع $g$ با ضابطه $g(x)=f(2x)$ را رسم کنید.

ب) مقدار $gof(0)$ را به‌دست آورید.

تابع $f(x)=\sqrt{x+4}-1$ را در نظر بگیرید. دامنه و ضابطه تابع وارون آن را بیابید. (1/25)

اگر بیشترین و کمترین مقدار تابع $y=a\sin (8x)+c$ به‌ترتیب 9 و 3 باشد. (1/5)

الف) مقادیر $\left|a\right|$ و $c$ را بیابید.

ب) دوره تناوب تابع را به‌دست آورد.

جواب‌های معادله $\cos (2x)=\frac{1}{2}$ را در بازه $(0,\pi )$ به‌دست آورید. (1/25)

حدود زیر را محاسبه کنید. (نماد $[]$ علامت جزء صحیح است.) (2)

الف) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$

ب) $\underset{x\to 5}{\lim }\frac{1}{{(x-5)}^4}$

ج) $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{3-\left[x\right]}{x-3}$

د) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-6x^3+7x-9}{2x^3-4x^2+x}$

اگر نمودار تابع $f$ از نقطه $A(2,4)$ بگذرد و $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=3$ باشد، معادله خط مماس بر نمودار $f$ را در نقطه $A$ به‌دست آورید. (1)

با استفاده از تعریف مشتق، شیب نیم مماس چپ تابع $f(x)=|x^2-4|$ را در $x=2$ بیابید. (1/25)

مشتق تابع زیر را به‌دست آورد. (ساده کردن مشتق الزامی نیست.) (1/25)

$f(x)={(x-6)}^3+\frac{5x+3}{\sqrt{2x-1}}$

تابع $f(x)=x^2-x$ را در نظر بگیرید. (1/25)

الف) آهنگ تغییر متوسط تابع $f$ را در بازه $\left[0,2\right]$ به‌دست آورید.

ب) حدود $x$ را چنان بیابید که آهنگ تغییر لحظه‌ای تابع $f$ از آهنگ تغییر متوسط آن، در بازه $\left[0,2\right]$ بزرگ‌تر باشد.

در نمودار تابع مقابل، طول نقاط ماکزیمم نسبی، مینیمم نسبی، ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق را بیابید. (1)

مطابق شکل زیر، نقطه $A$ در ناحیه اول دستگاه مختصات روی منحنی $y=12-x^2$ قرار دارد. (1/75)

با استفاده از جدول تغییرات، مختصات نقطه $A$ را چنان بیابید که مساحت مثلث قائم‌الزاویه $OAB$ بیشترین مقدار ممکن را داشته باشد.

در یک بیضی فاصله کانونی با طول قطر کوچک آن برابر است. خروج از مرکز بیضی را بیابید. (1/25)

اگر مرکز دایره $x^2+y^2+ax-4y-4=0$، نقطه $O(1,2)$ باشد. (1)

الف) مقدار $a$ را بیابید.

ب) شعاع دایره را محاسبه کنید.

سه ظرف یکسان داریم. در اولین ظرف 15 مهره قرار دارد که 3 تای آن‌ها قرمز است. در ظرف دوم هیچ مهرۀ قرمزی وجود ندارد و در ظرف سوم 12 مهره داریم که 6 تای آن‌ها قرمز است. با چشم بسته یک ظرف را انتخاب کرده و یک مهره از آن خارج می‌کنیم. با چه احتمالی این مهره قرمز است. (1/5)