حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس ریاضی (3) دوازدهم خرداد 1401 - امتحان نهایی دوازدهم خرداد 1401 (تجربی)

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را مشخص کنید. (0/75)

الف) تابع $f(x)=\sqrt{2}x-x^2$ یک تابع درجه دوم است.

ب) تابع $f(x)=x^3$، تابعی اکیداً صعودی است.

پ) شکل حاصل از دوران یک مستطیل حول طول آن، مخروط نام دارد.

در جاهای خالی عبارت ریاضی مناسب قرار دهید. (0/75)

الف) اگر $f=\left\{(2,3),(3,5)\right\}$ باشد، حاصل $f^{-1}(3)$ برابر ............ است.

ب) باقی‌مانده تقسیم عبارت $2x^2-5x+1$ بر $x-3$ برابر ............ است.

پ) خروج از مرکز بیضی با قطر بزرگ 8  و فاصله کانونی 6 برابر ............ است.

سؤالات چهار گزینه‌ای: (1/5)

$.I$ برد تابع $f$ بازۀ $(-3,1]$ است. برد تابع $y=-2f(3x-1)+3$ کدام‌یک از موارد زیر است؟

الف) $(-8,0]$

ب) $(-12,0]$

پ) $[1,9)$

ت) $[-10,2)$

$.II$ کدام‌یک از نقاط زیر روی محیط دایره به معادله $x^2+y^2-2x+4y+1=0$ قرار دارد؟

الف) $(0,0)$

ب) $(1,0)$

پ) $(0,-1)$

ت) $(-1,0)$

$.III$ با توجه به نمودار تابع $f$، اگر شیب خط مماس در نقاط $a$, $b$, $c$ به‌ترتیب با $m_a$, $m_b$, $m_c$ نمایش داده شود. کدام‌یک از گزینه‌های زیر صحیح است؟

الف) $m_c>m_b>m_a$

ب) $m_b>m_a>m_c$

پ) $m_a>m_b>m_c$

ت) $m_c=m_b=m_a$

اگر ورودی ماشین مقابل 3 باشد، مقدار خروجی آن چقدر است؟ (0/75)

ورودی $\leftarrow \frac{x}{\sqrt{x}+1}\leftarrow 2x-2\leftarrow x$ خروجی

معادلۀ یک تابع سینوسی $y=a\sin (bx)+c$ را بنویسید که برد آن $\left[-4,4\right]$ و دوره تناوب اصلی آن 2 است. (1)

معادلۀ مثلثاتی $\sin 2x=\sin x$ را حل کنید. (1)

نمودار تابع $f$ به‌صورت شکل مقابل است. حدود خواسته شده را محاسبه کنید. (1)

الف) $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\cdots \cdots$

ب) $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\cdots \cdots$

پ) $\underset{x\to -1}{\lim }f(x)=\cdots \cdots$

ت) $\underset{x\to {(1)}^{-}}{\lim }f(x)=\cdots \cdots$

حد زیر را در صورت وجود محاسبه کنید. (0/75)

$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{2x^2-7x+3}$

اگر توابع $f$، $g$ مشتق‌پذیر باشند و $f(2)=3$, $f^{\prime }(2)=5$, $g(2)=8$, $g^{\prime }(2)=-6$ حاصل $(fg{)}^{\prime }(2)$ را به‌دست آورید. (1)

اگر $f(x)=\{\begin{array}{cc}ax+1& x<0\\ x^2+3x+1& x\ge 0\end{array}$ در $x=0$ مشتق‌پذیر باشد، مقدار $a$ را محاسبه کنید. (1/5)

مشتق تابع زیر را به‌دست آورید. (ساده کردن مشتق الزامی نیست.) (0/75)

$f(x)=\sqrt{\frac{9x-2}{x+1}}$

معادله حرکت متحرکی به‌صورت $f(t)=t^2-t+10$ برحسب متر در بازه $\left[0,5\right]$ ($t$ برحسب ثانیه) داده شده است. سرعت متوسط را در بازه زمانی $\left[0,5\right]$ و سرعت لحظه‌ای را در لحظه $t=2$ به‌دست آورید. (1/25)

اکسترمم‌های نسبی تابع $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-x^2-3x+\frac{2}{3}$ را در صورت وجود به‌دست آورید. (2)

اگر بین دو عدد حقیقی $x$ و $y$ رابطۀ $5x-y=10$ برقرار باشد، مقادیر $x$ و $y$ را طوری به‌دست آورید که حاصل‌ضرب این دو عدد مینیمم گردد. (1/5)

اگر طول قطر بزرگ $A{A}^{\prime }$ و قطر کوچک $B{B}^{\prime }$ بیضی مقابل به‌ترتیب 10 و 8 باشد: (1/5)

الف) مقدار $A^{\prime }F$ را به‌دست آورید. ($F$ کانون بیضی است.)

ب) مساحت مثلث هاشورخورده $\stackrel{\Delta }{(BF{A}^{\prime })}$ چقدر است؟

معادله دایره‌ای بنویسید که مرکز آن $(0,3)$ و بر خط $3x-4y=3$ مماس باشد. (1)

دو ظرف یکسان داریم. ظرف اول شامل 6 مهره سبز و 4 مهره آبی و ظرف دوم شامل 5 مهره سبز و 7 مهره آبی است. از ظرف اول مهره‌ای انتخاب کرده و در ظرف دوم قرار می‌دهیم. سپس یک مهره به تصادف از ظرف دوم انتخاب می‌کنیم. به چه احتمالی این مهره سبز است؟ (2)