حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس ریاضی (3) دوازدهم شهریور 1402 - امتحان نهایی دوازدهم شهریور 1402 (تجربی)

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را مشخص کنید. (0/75)

الف) تابع $y=\sqrt{3}{x}^3-\pi x+1$ یک تابع چندجمله‌ای است.

ب) تابع $y=\frac{1}{x}$ در دامنه‌اش یکنواست.

پ) خط $y=\frac{1}{2}$، نمودار تابع $y=\sin x$ را در فاصله $\left[0,2\pi \right]$ در یک نقطه قطع می‌کند.

جمله‌های زیر را کامل کنید. (0/75)

الف) اگر $f(x)=-x^3$ آن‌گاه $f^{\prime \prime }(1)$ برابر است با ............ .

ب) اگر صفحه‌ای بر محور سطح مخروطی عمود باشد و از رأس آن عبور نکند، شکل حاصل ............ است.

پ) هرگاه برای دو پیشامد $A$ و $B$ داشته باشیم $P(A\bigcap B)=P(A)\cdot P(B)$ آن‌گاه دو پیشامد $A$ و $B$، ............ هستند.

نمودار تابع $f(x)=\sqrt{x}$ را ابتدا سه واحد به سمت راست انتقال می‌دهیم و سپس عرض نقاط را دو برابر می‌کنیم، ضابطه تابع جدید را بنویسید. (0/5)

اگر $f(g(x))=4x^2+1$ و $f(x)=\frac{x}{2}-1$، آن‌گاه ضابطه تابع $g(x)$ را بیابید. (0/75)

اگر دامنه تابع $f(x)=x^2+4x+3$ برابر $[-2,+\infty )$ باشد، ضابطه و دامنه تابع وارون را به‌دست آورید. (1/25)

دوره تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم تابع زیر را به‌دست آورید. (1/5)

$y=\sqrt{3}-\sin \left(\frac{\pi }{2}x\right)$

معادله مثلثاتی $2\sin x\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ را حل کنید. (1/25)

با توجه به نمودار تابع $f$، حاصل حدهای زیر را به‌دست آورید. (0/5)

الف) $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\cdots$

ب) $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\cdots$

حدهای زیر را در صورت وجود محاسبه کنید. (1/5)

الف) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{3}{\left|2-x\right|}$

ب) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{3x+1}-2}{x-1}$

اگر $f(x)=\frac{1}{x}$ آن‌گاه به کمک تعریف مشتق نشان دهید: $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$. (1)

مشتق توابع زیر را به‌دست آورید. (ساده کردن مشتق الزامی نیست.) (2/25)

الف) $g(x)=\frac{{(2x-1)}^4}{x^3+8}$

ب) $f(x)=\sqrt[3]{2x+1}$

معادله حرکت متحرکی به‌صورت $f(t)=t^2+2t+3$ برحسب متر در بازه زمانی $\left[0,2\right]$ ($t$ برحسب ثانیه) داده شده است. در کدام لحظه، سرعت لحظه‌ای با سرعت متوسط در بازه زمانی $\left[0,2\right]$ با هم برابرند؟ (1/5)

نقاط بحرانی تابع زیر را به‌دست آورید و سپس با رسم جدول تغییرات تابع، نقاط ماکزیمم نسبی و مینیمم نسبی آن را در صورت وجود مشخص کنید. (1/75)

$f(x)=-2x^3+3x^2+12x-9$

دو عدد حقیقی بیابید که تفاضل آن‌ها 8 باشد و حاصل‌ضربشان کمترین مقدار ممکن گردد. (1/25)

مختصات دو سر قطر بزرگ یک بیضی نقاط $(1,-2)$ و $(1,6)$ است. اگر خروج از مرکز این بیضی $\frac{1}{2}$ باشد، فاصله کانونی آن را بیابید. (1)

وضعیت خط $3x+4y=0$ را نسبت به دایره به معادله ${(x-2)}^2+{(y+2)}^2=9$ مشخص کنید. (1/25)

دو جعبه داریم. درون یکی از آن‌ها 9 لامپ سالم و 3 لامپ معیوب قرار دارد و درون جعبه دیگر 15 لامپ قرار دارد که 5تای آن‌ها معیوب است. به تصادف جعبه‌ای انتخاب کرده و یک لامپ از آن بیرون می‌آوریم چقدر احتمال دارد لامپ مورد نظر سالم باشد؟ (1/25)