حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس ریاضی و آمار (3) دوازدهم خرداد 1403 - امتحان نهایی دوازدهم خرداد 1403 (انسانی)

درستی یا نادرستی جمله‌های زیر را مشخص کنید. (0/5)

الف) دنبالۀ $1,4,9,16,\dots$ یک دنباله حسابی است. (درست - نادرست)

ب) هرگاه $A$ و $B$ دو پیشامد ناتهی در فضای نمونۀ $S$ باشند، به‌طوری که $A-B=A$, $B-A=B$. در این صورت، دو پیشامد $A$ و $B$ ناسازگار هستند. (درست - نادرست)

جاهای خالی را با عبارات مناسب پر کنید. (1)

الف) به هر یک از نتایج ممکن برای یک آزمایش تصادفی، ............ می‌گویند.

ب) احتمال اینکه از بین سه نفر دوست، تولد هیچ دوتای آن‌ها در یک فصل نباشد، برابر است با ............ .

ج) ریشه‌های چهارم عدد 7 برابر است با ............ و ............ .

گزینه صحیح را انتخاب کنید. (0/75)

الف) تعداد زیر مجموعه‌های 3 عضوی از مجموعۀ $A=\left\{5,6,7,8,9\right\}$ که شامل عدد 7 باشد، کدام است؟

1) 10

2) 8

3) 6

4) 4

ب) اگر اندازه‌گیری وزن افراد با دو واحد متفاوت (کیلوگرم و پوند) انجام شده باشد، اجرای نادرست کدام گام از چرخه آمار است؟

1) بیان مسئله

ب) طرح و برنامه‌ریزی

3) گردآوری و پاک‌سازی داده‌ها

4) تحلیل داده‌ها

ج) ضابطۀ تابعی دنبالۀ $\frac{1}{2},-\frac{2}{3},\frac{3}{4},-\frac{4}{5},\dots$ کدام گزینه است؟

1) $a_n={(-1)}^{n+1}\frac{n}{n+1}$

2) $a_n=\frac{-n}{n+1}$

3) $a_n={(-1)}^n\frac{n}{n+1}$

4) $a_n=\frac{n}{n+1}$

مطابق شکل زیر، میان چهار شهر راه‌هایی وجود دارد. مشخص کنید به چند طریق می‌توان از شهر $B$ به شهر $D$ سفر کرد؟ (0/75)

با ارقام $9,7,5,3,0,1$ و بدون تکرار ارقام، چند عدد چهار رقمی و مضرب 5 می‌توان نوشت؟ (1/25)

هر یک از اعداد طبیعی 1 تا 9 را روی کارت‌هایی می‌نویسیم و پس از مخلوط کردن کارت‌ها، به‌طور تصادفی یک کارت بر می‌داریم. پیشامدهای زیر را مشخص کنید. (1)

الف) عدد روی کارت، اول باشد ولی بزرگ‌تر از 4 نباشد.

ب) عدد روی کارت، مجذور کامل و فرد باشد.

گروه المپیاد ادبی شهری، شامل 5 دانش‌آموز دختر و 4 دانش‌آموز پسر است. می‌خواهیم به‌طور تصادفی 3 نفر را از بین آن‌ها انتخاب کنیم. مطلوب است محاسبه احتمال اینکه: (2)

الف) دو دختر و یک پسر انتخاب شود.

ب) حداقل 2 پسر انتخاب شده باشد.

با توجه به نمودارهای جعبه‌ای رسم شده به سؤالات زیر پاسخ دهید. (0/75)

الف) در کدام گروه، گزارش میانگین و انحراف معیار می‌تواند گمراه‌کننده باشد؟

ب) دامنۀ میان‌چارکی کدام گروه بزرگ‌تر است؟

ج) در کدام گروه مقدار میانه و میانگین به هم نزدیک‌ترند؟

با توجه به دنباله‌های $a_n=\frac{{(-1)}^n}{n+1}$, $b_n=n^2+2$ حاصل عبارت $8a_3+b_2$ را بنویسید. (0/75)

در دنبالۀ بازگشتی $a_{n+1}=2a_n+n$ با جملۀ اول $a_1=3$، چهار جمله اول را به‌دست آورید. (0/75)

در یک دنبالۀ حسابی، جملۀ هفتم برابر 53 و جملۀ بیست‌وپنجم برابر 107 است. (1/5)

الف) جملۀ اول و اختلاف مشترک دنباله را حساب کنید.

ب) جملۀ پنجاه‌ویکم دنباله را مشخص کنید.

بین اعداد 7 و 27 سه عدد را طوری قرار دهید که این پنج عدد با هم، تشکیل دنباله حسابی افزایشی دهند. (1)

مدت زمان مطالعۀ روزانۀ دانش‌آموزی در درس ریاضی و آمار برحسب دقیقه به‌صورت دنبالۀ زیر است.

$10,15,20,25,\dots$

مجموع مدت زمان مطالعۀ دانش‌آموز در شانزده روز اول را بیابید. (با استفاده از فرمول مجموع) (1)

برای دنباله هندسی مقابل: $\frac{1}{2},\frac{1}{10},\frac{1}{50},\frac{1}{250},\dots$ (1/25)

الف) نسبت مشترک و جملۀ عمومی دنباله را بنویسید.

ب) رابطۀ بازگشتی آن را مشخص کنید.

جملۀ اول یک دنبالۀ هندسی 5 و نسبت مشترک آن 2 است. (1/5)

الف) جملۀ چندم این دنباله برابر 640 است؟

ب) با استفاده از فرمول، مجموع نه جملۀ اول دنباله را به‌دست آورید.

عبارت توان‌دار را به‌صورت رادیکالی و عبارت رادیکالی را به‌صورت توان‌دار بنویسید. (1)

الف) $(0/35){}^{\frac{1}{4}}$

ب) $\sqrt[11]{4/2}$

ج) $\sqrt[4]{(\frac{1}{6}){}^3}$

د) $(2\frac{1}{3}){}^{\frac{-8}{3}}$

حاصل عبارت‌های زیر را به ساده‌ترین صورت ممکن بنویسید. $(a>0)$ (1/5)

الف) ${\left(\frac{a^{\frac{-1}{3}}}{a^{\frac{-1}{6}}}\right)}^{-6}$

ب) ${(3)}^{\frac{1}{2}}\times {(12)}^{\frac{1}{2}}\times {(0/7)}^0$

نمودار تابع نمایی $y=(\frac{1}{3}){}^x$ را در دستگاه مختصات رسم کنید. (0/75)

شخصی چهل میلیون تومان در یک شرکت تولیدی در راستای حمایت از تولید ملی سرمایه‌گذاری می‌کند. اگر در پایان هر سال 30 درصد سود علی‌الحساب به او پرداخت شود، پس از دو سال سرمایۀ او چقدر خواهد شد؟ (1)