حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس ریاضی (3) دوازدهم خرداد 1402 - امتحان نهایی دوازدهم خرداد 1402 (تجربی)

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را مشخص کنید. (0/75)

الف) بی‌شمار تابع وجود دارد که هم صعودی و هم نزولی است.

ب) نقطه $(1,1)$ یک نقطه گوشه‌ای برای تابع $f(x)=\left|2-x^2\right|$ است.

پ) هر نقطه اکسترمم نسبی تابع، یک نقطه بحرانی آن تابع است.

در جاهای خالی عبارت مناسب قرار دهید. (0/75)

الف) اگر $f(x)=3+\sqrt{2x-1}$ باشد، مقدار $(fo{f}^{-1})(5)$ برابر با ............ است.

ب) اگر $A$ مجموعه اعداد طبیعی اول و $B$ مجموعه اعداد طبیعی مرکب و $C=\cdots \cdots \cdots$ باشند، آنگاه $A$، $B$ و $C$ یک افراز روی مجموعه اعداد طبیعی است.

پ) نقطه $(-2,4)$ روی نمودار تابع $y=f(x)$ می‌باشد. نقطه متناظر آن روی نمودار تابع $y=f(2x)$ برابر ............ است

اگر $f(x)=\sqrt{x+1}$ و $g(x)=x-1$، آنگاه: (1/25)

الف) دامنه تابع $fog$ را با استفاده از تعریف به دست آورید.

ب) ضابطه تابع $fog$ را بنویسید.

نمودار زیر قسمتی از نمودار تابع $y=a\sin bx+1$ است. حاصل $ab$ را بیابید. (1/25)

جواب‌(های) معادله مثلثاتی $\cos 2x-\cos x=0$ را در بازه $(0,\pi )$ مشخص کنید. (0/75)

آیا مقدار $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{1}{\left[x\right]-1}$ وجود دارد؟ چرا؟ (0/5)

حدهای زیر را در صورت وجود محاسبه کنید. (1/5)

الف) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{\sqrt[3]{x}-1}$

ب) $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x-2}{\left|\sin x\right|}$

پ) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x^2+4x^5}{x^3-x}$

با توجه به نمودارهای توابع $f$ و $g$ حاصل $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)g(x)-3g(x)}{x-2}$ چند برابر $f^{\prime }(2)$ است؟ (1)

مشتق توابع زیر را به‌دست آورید. (ساده کردن مشتق الزامی نیست.) (2/25)

الف) $f(x)=(\sqrt{3x+2})(x^3+4)$

ب) $g(x)=\frac{-7x^2+1}{x-6}$

پ) $h(x)={(2x^5-1)}^4$

آهنگ تغییر لحظه‌ای تابع $f(x)=2x^2+5x+1$ در نقطه‌ای به طول $x=2$ چند برابر آهنگ تغییر متوسط آن در بازه $\left[-2,0\right]$ است؟ (1/5)

بزرگ‌ترین بازه از $\mathbb{R}$ که تابع $f(x)=-2x^3+6x+11$ در آن صعودی اکید باشد را با استفاده از جدول تغییرات بیابید. (1/5)

پنجره‌ای به شکل یک مستطیل و نیم‌دایره‌ای بر روی آن داریم به‌طوری که قطر نیم‌دایره برابر با پهنای مستطیل است. اگر محیط این پنجره 6 متر باشد، ابعاد آن را طوری بیابید که بیشترین نوردهی را داشته باشد. (1/75)

در بیضی مقابل کانون‌ها به مختصات $F(1,5)$ و $F^{\prime }(1,1)$ ویک رأس قطر بزرگ آن $A(1,6)$ می‌باشد: (1/75)

الف) فاصله کانونی و مختصات مرکز بیضی را بنویسید.

ب) معادله قطر کوچک بیضی را بنویسید.

پ) مساحت مثلث $B^{\prime }F{F}^{\prime }$ را به‌دست آورید.

اگر دو دایره به معادله‌های $x^2+y^2+2x-4y+1=0$ و ${(x-2)}^2+{(y+1)}^2=m^2$ مماس خارج باشند، مقدار $m$ را بیابید. (1/75)

مدرسه $A$ سه برابر مدرسه $B$ دانش‌آموز دارد. 35 درصد دانش‌آموزان مدرسه $A$ و 15 درصد دانش‌آموزان مدرسه $B$ معدلی بالای 18 دارند، اگر همه دانش‌آموزان هر دو مدرسه در یک محوطه حاضر باشند و به تصادف یکی از آن‌ها را انتخاب کنیم: (1/75)

الف) با چه احتمالی فرد انتخابی از مدرسه $A$ و با چه احتمالی از مدرسه $B$ است؟

ب) با چه احتمالی فرد انتخابی، معدلی بالای 18 دارد؟