حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس ریاضی (3) دوازدهم خرداد 1400 - امتحان نهایی دوازدهم خرداد 1400 (تجربی)

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را مشخص کنید. (0/5)

الف) هر نقطه اکسترمم نسبی تابع، یک نقطه بحرانی آن است.

ب) هرچه مقدر خروج از مرکز بیضی به صفر نزدیک‌تر باشد، شکل بیضی به دایره نزدیک‌تر خواهد شد.

در جاهای خالی عبارت ریاضی مناسب قرار دهید. (0/5)

الف) بزرگ‌ترین بازه‌ای که تابع $f(x)=x^3-3x$ در آن اکیداً نزولی است برابر ............ است.

ب) شعاع دایره‌ای به معادله $x^2+y^2-2x-3=0$ برابر ............ است.

با توجه به نمودار تابع $y=f(x)$، نمودار تابع $y=f(-x)+2$ را رسم کنید. (0/75)

اگر $f(x)=\sqrt{x-1}$ و $g(x)=2x^2-1$ باشد، (1/25)

الف) دامنۀ تابع $fog$ را با استفاده از تعریف به‌دست آورید.

ب) مقدار $(gof)(2)$ را تعیین کنید.

نمودار زیر مربوط به تابعی با ضابطه $y=a\cos bx+c$ است. با توجه به نمودار، ضابطه آن را مشخص کنید. (1)

معادلۀ مثلثاتی $\sin x\cos x=\frac{\sqrt{3}}{4}$ را حل کنید. (1)

حد توابع زیر را در صورت وجود محاسبه کنید. (2)

الف) $\underset{x\to 5}{\lim }\frac{2-\sqrt{x-1}}{x-5}$

ب) $\underset{x\to (-\frac{1}{3})}{\lim }\frac{\left[x\right]}{\left|3x+1\right|}$

ج) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3+\frac{1}{x^2}}{\frac{4}{x}-5}$

برای تابع $f$ در شکل روبه‌رو داریم $f^{\prime }(4)=1/5$ و $f(4)=24$ با توجه به شکل، مختصات نقاط $B$ و $C$ را بیابید. (1)

با محاسبه مشتق راست و مشتق چپ تابع $f$ در نقطه $A$، نشان دهید که تابع $f$ در نقطه $A$ مشتق‌پذیر نیست. (1)

مشتق تابع‌های زیر را به‌دست آورید. (ساده کردن مشتق الزامی نیست.) (1/5)

الف) $f(x)=\frac{9x-2}{\sqrt{x}}$

ب) $g(x)=(3x^2-4){(2x-5)}^3$

جسمی را از سطح زمین به‌طور عمودی پرتاب می‌کنیم. جهت حرکت را به طرف بالا مثبت در نظر می‌گیریم. ارتفاع از سطح زمین در هر لحظه از معادله $h(t)=-5t^2+40t$ به‌دست می‌آید: (1/5)

الف) سرعت متوسط جسم را در بازه $\left[5,8\right]$ به‌دست آورید.

ب) مشخص کنید در چه لحظه‌ای سرعت جسم $35m/s$ است.

اگر نقطه $(2,1)$، نقطه اکسترمم نسبی تابع $f(x)=x^3+b{x}^2+d$ باشد، مقادیر $b$ و $d$ را به‌دست آورید. (1/5)

در بین تمام مستطیل‌هایی با محیط ثابت 14 سانتی‌متر، طول و عرض مستطیلی با بیش‌ترین مساحت را بیابید. (1/5)

کانون‌های یک بیضی نقاط $(1,3)$ و $(1,-5)$ است. (1/5)

الف) فاصلۀ کانونی و مختصات مرکز بیضی را بنویسید.

ب) اگر $a=6$ باشد، اندازۀ قطر کوچک را پیدا کنید. ($a$ اندازه نصف قطر بزرگ بیضی است.)

مرکز دایره‌ای، نقطه $O(2,-3)$ است. این دایره روی خط $3x-4y+2=0$ وتری به طول 6 جدا می‌کند. معادله دایره را بنویسید. (1/5)

اگر احتمال انتقال نوعی بیماری خاص به نوزاد پسر 0/08 و نوزاد دختر 0/03 باشد و خانواده‌ای منتظر به دنیا آمدن فرزندی باشد، با چه احتمالی نوزاد آن‌ها به بیماری مذکور مبتلا خواهد بود؟ (2)