حل تشریحی سوالات ریاضی نهم - امتحان نهم هماهنگ کشوری خرداد 1404

درستی یا نادرستی هر یک از عبارت‌های زیر را مشخص کنید. (1)

الف) مجموعۀ اعداد صحیح، زیرمجموعۀ اعداد گویا است.

ب) 3/14 عددی گنگ است.

ج) سه برابر $3^{-2}$ برابر است با $3^{-3}$.

د) اگر $a+b>0$ آنگاه، $a$ و $b$ هر دو مثبت‌اند.

جاهای خالی را با عبارت یا عدد مناسب کامل کنید. (1)

الف) به استدلالی که موضوع موردنظر را به‌درستی نتیجه دهد، ............ می‌گوییم.

ب) خط $x=2$ موازی محور............ است.

ج) مساحت رویۀ یک کره به شعاع $R$ از دستور ............ به‌دست می‌آید.

د) با دوران دادن یک مستطیل حول ضلع آن ............ پدید می‌آید.

در هر سؤال گزینۀ صحیح را انتخاب کنید. (1)

الف) درجۀ $2a^3{b}^2-4a^{7}b$ نسبت به متغیر $a$ برابر ............ است.

1) 3

2) 5

3) 7

4) 8

ب) کدام‌یک از شکل‌های زیر می‌تواند گستردۀ کلاه تولد مخروطی شکل زیر باشد؟

1)

2)

3)

4)

ج) کدام‌یک از عبارت‌های گویای زیر را می‌توان ساده کرد.

1) $\frac{3a+4}{3a}$

2) $\frac{a^2+b^2}{a+b}$

3) $\frac{a+5}{b+5}$

4) $\frac{2a-2b}{a-b}$

د) کدام‌یک از نمودارهای زیر رابطۀ تلاش و موفقیت یک دانش‌آموز را برای پیشرفت تحصیلی نشان می‌دهد.

1)

2)

3)

4)

الف) در نمودار ون داده شده مجموعۀ $B-A$ را رنگ کنید. (0/25)

ب) (0/5)

$A\cap B=\left\{\right\}$

ج) (0/25)

$n(A\cup B)=$

5 کلاس پایۀ هفتم، 4 کلاس پایۀ هشتم و 3 کلاس پایۀ نهم از دبیرستان خلیج‌فارس در یک اردوی تفریحی شرکت کرده‌اند. قرار است تمامی کارهای اردو با مشارکت دانش‌آموزان به‌صورت قرعه‌کشی انجام شود. برای تعیین تیم برپاکنندۀ چادرها، چقدر احتمال دارد یک کلاس پایۀ نهم انتخاب شود. (0/75)

الف) حاصل عبارت زیر را به ساده‌ترین شکل بنویسید. (0/75)

$\left|2-\sqrt{5}\right|+\left|4\right|=$

ب) کدام‌یک از مجموعه‌های زیر با مجموعۀ نقاط روی شکل زیر برابر است؟ چرا؟ (0/5)

$\begin{array}{c}A=\left\{x\in Q|1\le x\le 4\right\}\\ B=\left\{x\in R|1\le x\le 4\right\}\end{array}$

الف) در شکل زیر $O$ مرکز دایره است. نشان دهید دو مثلث $BOC$ و $AOC$ هم‌نهشت‌اند. (0/75)

$\{\begin{array}{c}{\hat{O}}_1={\hat{O}}_2={90}^{{}^{\circ }}\\ \cdots =\cdots \\ \cdots =\cdots \end{array}\stackrel{(.......)}{\to }\stackrel{△}{\mathrm{AOC}}\cong \stackrel{△}{\mathrm{BOC}}$

ب) دو مثلث $OAB$ و $ODC$ متشابه‌اند، مقدار $x$ را بیابید. (0/5)

الف) مدیر یک مجتمع مسکونی تصمیم گرفت برای ذخیرۀ آب موردنیاز ساکنین در مواقع ضروری، مخزنی به شکل مکعب با حجم 8 مترمکعب بسازد. حساب کنید طول ضلع این مخزن چقدر باید باشد؟ (0/5)

ب) مخرج کسر زیر را گویا کنید. (0/5)

$\frac{3}{\sqrt{6}}$

ج) حاصل عبارت زیر را ساده کنید. (0/75)

$\sqrt[3]{54}-3\sqrt[3]{2}=$

الف) مساحت شکل زیر را به کمک اتحاد بنویسید. (0/75)

ب) عبارت جبری زیر را تجزیه کنید. (0/5)

$x^2+13x+36=(x)(x)$

ج) نامعادلۀ زیر را حل کنید. (0/75)

$6x+5\ge 2x-7$

با توجه به نمودار داده شده: (1)

الف) عرض از مبدأ خط $d_2$ برابر است با ............

ب) شیب خط $d_1$ برابر است با ............

ج) مختصات نقطۀ $A$ را بیابید. $A=\left[\begin{array}{c}\\ \end{array}\right]$

مختصات محل برخورد خط $y=5x+10$ با محور طول‌ها را بیابید. (0/75)

پل‌ها نقش اساسی در زندگی انسان دارند. انواع مختلفی از پل‌ها وجود دارند و در موارد زیادی نیروهای وارد بر آن‌ها از فرمول‌هایی به‌دست می‌آید که با یک عبارت گویا بیان می‌شوند. مثلاً در مورد پل‌های عابر پیاده بار محاسباتی از دستور $200+\frac{1500}{L+50}$ به‌دست می‌آید که در آن $L$ طول بارگذاری شده بر حسب متر است. این عبارت گویا به ازای چه مقادیری از $L$ تعریف نشده است. (طول نمی‌تواند منفی باشد) (0/5)

دستگاه معادلۀ خطی زیر را حل کنید. (1)

$\{\begin{array}{c}3x-y=1\\ x+2y=5\end{array}$

الف) حاصل عبارت‌های زیر را به ساده‌ترین صورت ممکن بنویسید. (2)

$\frac{x-3}{x^2-9}\times \frac{6x+18}{3x}=$

$\frac{1}{x-5}-\frac{x-4}{x-5}=$

ب) تقسیم زیر را انجام دهید. (1/25)

$\begin{array}{c}2x^2-7x-20\\ \end{array}|\frac{x-5}{}$

برای یکی از مراحل مسابقه مردان آهنین در نظر است وزنه‌هایی از جنس بتن به شکل کره ساخته شود، اگر قطر هر یک از کره‌های بتنی 60 سانتی‌متر باشد، حجم آن چقدر خواهد بود؟ (1)

در هرم زیر که قاعدۀ آن به شکل مستطیل است: (1/5)

الف) تعداد وجه‌های جانبی را بنویسید.

ب) حجم آن را با توجه به اندازه‌های داده شده حساب کنید. (اندازه‌ها برحسب سانتی‌متر است)