حل تشریحی سوالات سؤالات امتحان نهایی درس ریاضی (2) یازدهم خرداد 1403 - امتحان نهایی خرداد 1403

درستی و نادرستی عبارت‌های زیر را مشخص کنید. (0/75)

الف) معادلۀ $x^4-3x^2+1=0$ دارای دو جواب حقیقی است.

ب) دو تابع $f(x)=\sqrt{x}\cdot \sqrt{x-1}$ و $g(x)=\sqrt{x^2-x}$ با هم برابرند.

پ) نمودار تابع $f(x)=\cos (\frac{19\pi }{2}+x)$ بر نمودارهای تابع $g(x)=\sin x$ منطبق است.

جاهای خالی را با عبارت‌های مناسب کامل کنید. (1)

الف) اگر واریانس داده‌های $x_1,x_2,x_3,x_4$ برابر 7 باشد آن‌گاه واریانس داده‌های $3x_1-2,3x_2-2,3x_3-2,3x_4-2$ برابر ............ است.

ب) در سهمی با ضابطۀ $y=a{x}^2+bx+c$ که نمودار آن به‌صورت مقابل است علامت $b\times c$ ............ می‌باشد.

پ) برد تابع با ضابطه $y=3^x$ بازۀ ............ است.

ت) انتهای کمان زاویه 6 رادیان در ربع ............ دایره مثلثاتی قرار دارد.

خط $4x-3y=0$ بر دایره‌ای به مرکز $(3,-1)$ مماس است. مساحت دایره را محاسبه کنید. (0/75)

الف) معادلۀ درجه دومی بنویسید که ریشه‌های آن $\frac{2+\sqrt{3}}{5}$ و $\frac{2-\sqrt{3}}{5}$ باشند. (0/75)

ب) معادلۀ $\sqrt{x+2}+4=x$ را حل کنید. (1)

در شکل مقابل $BC||DE$ می‌باشد. مقادیر $x$ و $y$ را محاسبه کنید. (1)

در شکل مقابل $AB||ED$ است. (1)

الف) نشان دهید دو مثلث $\stackrel{\Delta }{\mathrm{ABC}}$ و $\stackrel{\Delta }{\mathrm{CDE}}$ متشابه هستند.

ب) اگر $DM=4,AN=3,BE=7$ باشد آن‌گاه طول ضلع $BC$ را محاسبه کنید.

نمودار تابع $y=1-2\left[x\right]$ را در بازه $[-1,2)$ رسم کنید. ($\left[\right]$ نماد جزءصحیح است.) (0/75)

الف) اگر وارون تابع $f(x)=ax+4$ از نقطه $(5,\frac{5}{3})$ بگذرد آن‌گاه ضابطه وارون $f$ را به‌دست آورید. (1)

ب) اگر $f(x)=x+1$ و $g(x)=\frac{5x+4}{x-3}$ باشند آن‌گاه دامنه و ضابطۀ تابع $\frac{f}{g}$ را به‌دست آورید. (1)

الف) دونده‌ای مطابق شکل، روی مسیر دایره‌ای از نقطه $A$ به نقطه $B$ می‌رسد. اگر شعاع دایره برابر 9 متر باشد آن‌گاه طول کمان $AB$ چند متر است؟ $(\widehat{AOB}={15}^{\circ })$ (0/5)

ب) حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید. (1/25)

$A=\tan (\frac{8\pi }{3})\cos (-\frac{3\pi }{4})+\sin ({660}^{\circ })\cot (-{300}^{\circ })=$

نمودار تابع $y=1-\sin x$ را در بازۀ $\left[0,2\pi \right]$ رسم کنید. (0/75)

معادلات زیر را حل کنید. (1/5)

الف) $(\frac{1}{16}){}^{2x-1}={32}^{1-x}$

ب) ${\log }_3(x^2-1)=1+{\log }_3(x+3)$

الف) اگر $\log 2=m$ و $\log 3=n$ باشند آن‌گاه مقدار $\log \frac{\sqrt{27}}{16}$ را برحسب $m$ و $n$ به‌دست آورید. (0/5)

ب) در دستگاه مختصات مقابل نمودار تابع با ضابطۀ $y=a+{\log }_2(x+b)$ رسم شده است. مقادیر $b$ و $a$ را به‌دست آورید. (0/75)

نمودار تابع $f$ به‌صورت مقابل داده شده است. مطلوب است: (0/75)

الف) $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$

ب) $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f(x)$

پ) آیا تابع $f$ در بازۀ $\left[-1,1\right]$ پیوسته است؟

حدود زیر را در صورت وجود بیابید. ($\left[\right]$ نماد جزءصحیح است.) (1/25)

الف) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{8-x^3}{x^2+3x-10}$

ب) $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{\left|2-x\right|}{\left[x\right]+1}$

پیوستگی تابع زیر را در $x=0$ بررسی کنید. (1)

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\sin x+\cos x& x<0\\ \sqrt{2}& x=0\\ x^2+1& x>0\end{array}$

در پرتاب دو تاس با هم، دو پیشامد $B$ و $A$ را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم: (1/25)

$A$: مجموع عددهای رو شده 8 باشد.

$B$: عددهای رو شده برابر باشند.

الف) احتمال $P(B|A)$ را به‌دست آورید.

ب) آیا دو پیشامد $B$ و $A$ مستقل هستند؟ چرا؟

در داد‌ه‌های 14، 23، 8، 17، 26، 11 و 20 (1/5)

الف) چارک سوم را به‌دست آورید.

ب) ضریب تغییرات داده‌ها را محاسبه کنید.